Question

数列a₀，a₁，a₂，…满足：a0=

3

，an+1=[an]+

1

{an}

（[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分和小数部分），则a₂₀₀₈=

 

．

Answer 1

分析：分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆然后观察规律找出通项代入求解．

解答：解：∵a0=

3

∴[a₀]=1，{a₀}=

3

-1
∴a1=[a0] +

1

{a0}

=1+

1

3 -1

=2+

3 -1

2

∴a2=[a1]+

1

{a1}

= 4+(

3

-1)
∴a3=[a2]+ 

1

{a2}

=5+ 

3 -1

2

∴a4=[a3]+

1

{a3}

=7+ (

3

-1)
∴a5=[a4]+

1

{a4}

= 8+

3 -1

2

∴a6=[a5]+

1

{a5}

=10+

3 -1

2

…
∴a2n+1=2+3n+

3 -1

2

  a2n+2=4+3n+(

3

-1)
∴a2008= a2×1003+2=4+3×1003+(

3

-1)=3012+

3

故答案为3012+

3

点评：本题主要考查了利用数列的地推公式求数列的项．解题的关键是要根据[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分和小数部分求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆然后分析观察出通项公式后代入求解．