Question

已知数列a₀，a₁，a₂，…，a_n，…满足关系式（3-a_n+1）（6+a_n）=18，且a₀=3，则

n

i=0

1

ai

的值是

1

3

（2ⁿ⁺²-n-3）

．

Answer 1

分析：由已知可得

1

an+1

=

2

an

+

1

3

，令b_n=

1

an

+

1

3

，则可构造等比数列{b_n}，可求b_n，进而可求

1

an

，利用等比数列的求和公式可求

解答：解：

1

an+1

=

2

an

+

1

3

，
令b_n=

1

an

+

1

3

，得b₀=

2

3

，b_n=2b_n-1，
∴b_n=

2

3

×2ⁿ．
即

1

an

=

2n+1-1

3

，

∴

n

i-0

1

ai

=

1

3

(22+23+…+2n+1)-

1

3

×n
=

1

3

×

4(1-2n)

1-2

-

n

3

=

1

3

（2ⁿ⁺²-n-4）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，及等比数列的求和公式的应用