Question

设正数列a₀，a₁，a₂，…，a_n，…满足

anan-2

-

an-1an-2

=2a_n-1，（n≥2）且a₀=a₁=1，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：由已知可得得：

an an-1

=2

an-1 an-2

+1，令

an an-1

+1=b_n，则得b_n=2b_n-1．结合等比数列的通 项公式即可求解

解答：解：由已知变形，同除以

an-1an-2

得：

an an-1

=2

an-1 an-2

+1，
令

an an-1

+1=b_n，则得b_n=2b_n-1．
即{b_n}是以b₁=

1 1

+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴b_n=2ⁿ．
∴

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
∴

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
∴

a1

a0

=(2-1)2

a2

a1

=(22-1)2
…

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
以上式子相乘可得，

an

a0

=[（2-1）（2²-1）…（2ⁿ-1）
∴a_n=（2ⁿ-1）²（2^n-1-1）²…（2-1）²（n≥1），a₀=1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，解题的关键是对已知递推公式的灵活变形