题目内容
在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且
a=2csinA．
（1）确定∠C的大小；
（2）若c=
，求△ABC周长的取值范围．
| 3 |
（1）确定∠C的大小；
（2）若c=
| 3 |
（1）由
a=2csinA变形得：
=
，
又正弦定理得：
=
，
∴
=
，
∵sinA≠0，∴sinC=
，
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠C=
；
（2）∵c=
，sinC=
，
∴由正弦定理得：
=
=
=
=2，
即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=
，即B=
-A，
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+
=2[sinA+sin（
-A）]+
=2（sinA+sin
cosA-cos
sinA）+
=3sinA+
cosA+
=2
（sinAcos
+cosAsin
）+
=2
sin（A+
）+
，
∵△ABC是锐角三角形，
∴
＜∠A＜
，
∴
＜sin（A+
）≤1，
则△ABC周长的取值范围是（3+
，3
]．
| 3 |
| a |
| c |
| 2sinA | ||
|
又正弦定理得：
| a |
| c |
| sinA |
| sinC |
∴
| 2sinA | ||
|
| sinA |
| sinC |
∵sinA≠0，∴sinC=
| ||
| 2 |
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠C=
| π |
| 3 |
（2）∵c=
| 3 |
| ||
| 2 |
∴由正弦定理得：
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| ||||
|
即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+
| 3 |
=2[sinA+sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
=2（sinA+sin
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
=3sinA+
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∵△ABC是锐角三角形，
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
则△ABC周长的取值范围是（3+
| 3 |
| 3 |
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