Question

【题目】设函数，其中为自然对数的底数.

（1）若曲线在轴上的截距为，且在点处的切线垂直于直线，求实数的值；

（2）记的导函数为， 在区间上的最小值为，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 的值分别为1， ；(2) .

【解析】试题分析：(1)先利用曲线在轴上的截距为求得，再求导，利用导数的几何意义进行求解；(2)连续求导，得到，再通过分类讨论思想讨论的取值，研究函数在区间的单调性和最小值，得到分段函数，则通过求导确定的最小值.

试题解析：（1）曲线在轴上的截距为，则过点，代入，

则，则，求导，

由，即，则，

∴实数的值分别为1， ；

（2）， ， ，

①当时，∵，∴恒成立，

即， 在上单调递增，

∴.

②当时，∵，∴恒成立，

即， 在单调递减，

∴.

③当时， ，得， 在上单调递减，在上单调递增，

所以，

∴，

∴当时， ，

当时， ，求导， ，

由时， ，

∴单调通减， ，

当时， ，单调递减， ，

∴的最大值.