Question

已知，f（x）=xlnx，g（x）=ax²+bx-1，函数y=g（x）的导数g′（x）的图象如图所示．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）d≥f（x）-g（x）对一切x＞0恒成立，求实数d的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的零点个数．

Answer 1

解（Ⅰ）∵g（x）=ax²+bx-1，∴g'（x）=2ax+b
由图可知b=-1，∴g'（x）=2ax-1，
将x=

1

2

，y=0代入计算得a=1，
∴g（x）=x²-x-1．…3分
（Ⅱ）设T（x）=lnx-x+1（x＞0）．
∴T′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，∴当0＜x＜1时，T'（x）＞0，T（x）单调递增，当x＞1时，T'（x）＜0，T（x）单调递减．
∴T（x）_max=T（x）_极大=T（1）=0，即对一切x＞0，都有lnx-x+1≤0，
∴xlnx-x²+x≤0，即xlnx-x²+x+1≤1．
由（Ⅰ）得f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，所以对一切x＞0都有f（x）-g（x）≤1．
所以实数求d的取值范围是[1，+∞）．…8分
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h'（x）=lnx-2x+2（x＞0）．
设t（x）=lnx-2x+2（x＞0），则t′(x)=-

2(x- 1 2 )

2x2

，所以当0＜x＜

1

2

时，t'（x）＞0，h'（x）=t（x）是增函数，当x＞

1

2

时，t'（x）＜0，h'（x）=t（x）是减函数，所以h′(x)max=h′(

1

2

)=1-ln2＞0．
又h'（e^-2）=-2e^-2＜0，所以在区间(e-2，

1

2

)上存在唯一的实数x₀，使得h'（x₀）=t'（1）=0（e是自然对数的底数），
所以当x变化时，h'（x）、h（x）的变化情况如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	↘	极小值	↗	极大值1	↘

∴h(x)极小=h(x0)=x0lnx0-

x

20

+x0+1，且h'（x₀）=lnx₀-2x₀+2=0，∴h(x)极小=h(x0)=x0(2x0-2)-

x

20

+x0+1=

x

20

-x0+1=(x0-

1

2

)2+

3

4

＞0．
∵h（x）在区间（1，+∞）递减，h（e）=2e-e²+1＜0，∴在区间（1，e）上存在唯一一点x，使得h（x）=0．
综上所述，函数h（x）的零点个数是1．…14分．