Question

18．在△ABC中，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，则$\frac{tanB}{tanC}$=7．

Answer 1

分析 根据向量的运算得出b²-c²=$\frac{3}{4}$a²，利用正弦定理，余弦定理的结合三角形得出$\frac{tanB}{tanC}=\frac{sinB}{cosB}•\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{b}{c}$$•\frac{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}{{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}$=7即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
∴（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
$\overrightarrow{AC}$²$-\overrightarrow{AB}$²=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$²，
即b²-c²=$\frac{3}{4}$a²，
∵$\frac{tanB}{tanC}=\frac{sinB}{cosB}•\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{b}{c}$$•\frac{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}{{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}$=7
∴则$\frac{tanB}{tanC}$=7
故答案为：7

点评 本题考察了三角形的性质，平面向量的运用，正弦定理，余弦定理的运用，综合性较大，属于难题．