Question

已知点H(-3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0,=-.

(1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

(2)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x₀,0)，使得△ABE为等边三角形，求x₀的值.

Answer 1

解：(1)设点M(x,y),由=-P(0,-),Q(,0).

    由·=0y²=4x.

    ∵点Q在x轴的正半轴上，x＞0,

    ∴点M的轨迹C是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).

    (2)设直线l:y=k(x+1)(k≠0),代入y²=4xk²x²+2(k²-2)x+k²=0.

    设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁+x₂=-,x₁x₂=1.

    ∴线段AB垂直平分线的方程为y-=-(x-).

    令y=0x₀=+1点E(+1,0).

    ∵△ABC为正三角形，∴点E到直线AB的距离为|AB|,

    点E到直线AB的距离为.

    又|AB|==·,

    ∴=k=±,x₀=.