Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁底面边长为1,点E在棱AA₁上,A₁C∥平面EBD,截面EBD的面积为.

(1)求A₁C与底面ABCD所成角的大小;

(2)若AC与BD的交点为M,点T在CC₁上,且MT⊥BE,求MT的长.

Answer 1

解：(1)因为A₁C∥平面EBD，平面A₁CA∩平面EBD=EM，所以A₁C∥EM，又M为AC的中点，故E为AA₁的中点，∴S_△EBD=·ME=ME=1.∵AA₁⊥底面ABCD,∴∠A₁CA为A₁C与底面ABCD所成的角,在△A₁CA中,A₁C=2EM=2,∴cos∠A₁CA==.所以A₁C与底面ABCD所成的角为45°.?

(2)解法一:如下图,建立直角坐标系D—xyz,则E(1,0, ),B(1,1,0),M(,,0).设T

点的坐标为(0,1,z),故=(0,-1, ),=(-,,z),∵BE⊥MT,∴·=0，∴-+z=0，∴z=.∴==1,故MT=1.?

解法二:∵BD⊥平面AA₁C₁C,∴MT⊥BD.又MT⊥BE,∴MT⊥平面EBD,∴MT⊥EM.在正方形AA₁C₁C中,∵∠EMA=45°,∴∠TMC=45°.∴CT=MC=,MT=1.