Question

设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．

(1)设函数f(x)＝ln x＋ (x＞1)，其中b为实数．

①求证：函数f(x)具有性质P(b)；

②求函数f(x)的单调区间；

(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，设m为实数，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范围．

 

Answer 1

（1）当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；

当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)．

（2）(0,1)

【解析】【解析】
(1)由f(x)＝ln x＋，得f′(x)＝.

①证明：因为x＞1时，h(x)＝＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)．

②当b≤2时，由x＞1得x2－bx＋1≥x2－2x＋1＝(x－1)2＞0，

所以f′(x)＞0.从而函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．

当b＞2时，令x2－bx＋1＝0得

x1＝，x2＝.

因为x1＝＝＜＜1，

x2＝＞1，

所以当x∈(1，x2)时，f′(x)＜0；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x＝x2时，f′(x)＝0.从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增．

综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；

当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)．

(2)由题设知，g(x)的导函数

g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，

其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立，

所以当x＞1时，g′(x)＝h(x)(x－1)2＞0，

从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．

①当m∈(0,1)时，

有α＝mx1＋(1－m)x2＞mx1＋(1－m)x1＝x1，

α＜mx2＋(1－m)x2＝x2，即α∈(x1，x2)，

同理可得β∈(x1，x2)．

所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合题意．

②当m≤0时，α＝mx1＋(1－m)x2≥mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，

所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题意不符．

③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，

进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题意不符．

综上所述，所求的m的取值范围为(0,1)．