题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）经过点（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），一个焦点是F（0，- $数学公式$ ）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

解：（I）一个焦点是F（0，- $\text{[math]}$ ），故c= $\text{[math]}$ ，可设椭圆方程为 $\text{[math]}$ …（2分）
∵点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，∴ $\text{[math]}$
∴b²=1， $\text{[math]}$ （舍去）
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ …（4分）
（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）
当点P不在y轴上时，设P（t，4），A₁（0，2）、A₂（0，-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线PA₁方程y= $\text{[math]}$ ，PA₂方程y= $\text{[math]}$ ，
y= $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 得（1+t²）x²+2tx=0，
得x₁=- $\text{[math]}$ ，y₁= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（8分）
y= $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 得（9+t²）x²-6tx=0
得x₂= $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（10分）
∴k_QM=k_QN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）． …（12分）
分析：（I）假设椭圆方程，利用点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，即可确定椭圆方程；
（II）先确定直线MN恒经过定点Q（0，1），再证明：当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，确定直线PA₁，PA₂与椭圆方程联立，确定交点坐标，进而可得斜率，由此可得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程确定交点坐标是关键．

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（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足

（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.

①求椭圆C的方程.

②当⊿AMN的面积为时，求k的值.

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若。则（）

（A）1 （B）2 （C）（D）

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