Question

已知函数在点处的切线与x轴平行.

（1）求实数a的值及的极值；

（2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）如果对任意的，有，求实数k的取值范围.

Answer 1

（1）的极大值1，无极小值（2），（3）

【解析】

试题分析：（1）由函数在点处的切线与x轴平行，对函数求导并由.即可求出a的值，再根据导函数的正负及可求得函数的单调性，从而可得函数的极值的情况.

（2）由（1）得函数图象的走向可得，以及函数的取值范围，存在符合条件的区间，通过解不等式组即可得结论.

（3）由f（x）在上是递减，所以不妨假设，由此需证的问题可转化，从而将问题转化为证明一个新的函数的单调性.再通过函数求导，根据k的取值需要的函数的单调区间，即可得结论.

试题解析： （1）

∵在点（1，）处的切线与x轴平行∴

∴a=1 ∴

，

当时，，当时，

∴在（0,1）上单调递增，在单调递减，

故在x=1处取得极大值1，无极小值

（2）∵时，，

当时，，由（1）得在（0,1）上单调递增，∴由零点存在原理，在区间（0,1）存在唯一零点，

函数的图象如图所示

∵函数在区间上存在极值和零点

∴

∴存在符号条件的区间，实数t的取值范围为，

（3）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，则，

函数在上单调递减,

又，

∴，在上恒成立，∴在上恒成立.

在上，∴

考点：1.导数.2.函数的极值.3.恒成立问题.

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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