Question

如图,在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中,AC=AB=AA₁=a,∠CAB=90⁰,  D、E分别为棱AA₁、A₁B₁的中点。

（1）求二面角B-C₁D-C的平面角的余弦值；

（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面C₁BD?若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）延长CA交C₁D于K，连结BK，过A做AT⊥C₁K,垂足为T.，

       由AA₁⊥AB,AC⊥AB,AC∩AA₁=A得AB⊥平面AA₁C₁C

AB⊥C₁K ∠ATB为二面角B-C₁D-C的平面角       

C₁K=a, AT= BT=a    cos∠ATB=

二面角B-C₁D-C的平面角的余弦值；         

   （2）存在点F为线段AC中点

无论F在何处，总有EF在平面AB₁内的射影与DB垂直故只需EF与C₁D垂直

F位AC中点时又EF在平面AC₁内的射影与C₁D垂直此时EF⊥平面C₁BD