Question

11．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱AA₁长为$\frac{3}{2}$a，它和AB、AC均为60°，斜三棱柱的全面积 为$\frac{3+4\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 过点B作BM⊥AA₁于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，证明ABM≌△ACM，推出AA₁⊥面BMC，求出BMC周长，求解S_侧．然后求解全面积．

解答 解：过点B作BM⊥AA₁于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，
∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=60°，MA为公用边，
∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90°，∴AA₁⊥面BMC，
即平面BMC为直截面，
又BM=CM=ABsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BMC周长为2x$\frac{\sqrt{3}}{2}a$+a=（1+$\sqrt{3}$）a，且棱长为$\frac{3}{2}$a，
∴S_侧=（1+$\sqrt{3}$）a•$\frac{3}{2}$a．2S_底=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．
全面积为：$\frac{3+4\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．
故答案为：$\frac{3+4\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．

点评 本题考查棱柱的结构特征，全面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．