题目内容
关于平面向量
，
，
．有下列三个命题：
①若
•
=
•
，则
=
；
②若
=(1，k)，
=(-2，6)，
∥
，则k=-3；
③非零向量
和
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为30°．
其中真命题的序号为
| a |
| b |
| c |
①若
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
②若
| a |
| b |
| a |
| b |
③非零向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
其中真命题的序号为
②③
②③
．（写出所有真命题的序号）分析：正确命题给出证明和计算，错误的命题举出反例即可判断出真命题，具体分析如下：
对于命题①可取
⊥
且
≠
，
=
仍满足
•
=
•
但
≠
．
对于命题②根据两向量平行的坐标计算可求出k值然后判断即可．
对于命题③根据条件求出|
+
|以及
•（
+
）（用|
|表示）然后再根据向量的夹角公式即可求出
与
+
的夹角．
对于命题①可取
| b |
| a |
| b |
. |
| 0 |
| c |
| 0 |
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
对于命题②根据两向量平行的坐标计算可求出k值然后判断即可．
对于命题③根据条件求出|
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| a |
| a |
| b |
解答：解：对于命题①：可取
⊥
且
≠
，
=
，仍满足
•
=
•
但
≠
．故①错
对于命题②：
∵
=(1，k)，
=(-2，6)，
∥
∴1×6-k×（-2）=0
∴k=-3
故②对
对于命题③：
∵|
|=|
|=|
-
|
∴|
|2=|
-
|2
∴
•
=
|
|2
又∵|
+
|=
=
=
|
|
∴cos＜
，
+
＞=
=
∵＜
，
+
＞∈[0，π]
∴＜
，
+
＞30°
故③对
故答案为②③
| b |
| a |
| b |
. |
| 0 |
| c |
| 0 |
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
对于命题②：
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
∴1×6-k×（-2）=0
∴k=-3
故②对
对于命题③：
∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
∴|
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
又∵|
| a |
| b |
(
|
|
| 3 |
| a |
∴cos＜
| a |
| a |
| b |
| ||||||
|
|
| ||
| 2 |
∵＜
| a |
| a |
| b |
∴＜
| a |
| a |
| b |
故③对
故答案为②③
点评：本题主要考察了利用向量数量积的定义解决向量的夹角问题，属常考题型，较难．解题的关键熟记向量数量积的定义
•
=|
||
|cos＜
，
＞!
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
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