题目内容

圆锥曲线C的离心率为e，且经过点M（3，0），求e分别取 $数学公式$ 、 $数学公式$ 时曲线C的标准方程．

解：∵曲线C的离心率e= $\text{[math]}$ ∈（0，1），
∴曲线C为椭圆，设其方程为： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∵曲线C经过点M（3，0），
∴a=3，
∴c=2 $\text{[math]}$ ，
∴b=1，
∴曲线C的标准方程为： $\text{[math]}$ +y²=1；
当曲线C的离心率e= $\text{[math]}$ 时，曲线C为双曲线，设其方程为： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
同理可求得a=3，c=3 $\text{[math]}$ ，b=3．
∴曲线C的标准方程为： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．
∴曲线C的离心率e分别取 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 时曲线C的标准方程分别为： $\text{[math]}$ +y²=1或 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．
分析：依题意，分别设出e= $\text{[math]}$ 与e= $\text{[math]}$ 时的曲线C的标准方程，领用曲线C经过点M（3，0），即可求得答案．
点评：本题考查双曲线与椭圆的标准方程，求得曲线C的标准方程中的a²，b²是关键，属于中档题．