Question

【题目】已知函数f（x）=exlnx+ ．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，

故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=e（x﹣1）+2；

（2）证明：由（1）知，f（x）=exln x+ ex﹣1，

从而f（x）＞1等价于xln x＞xe﹣x﹣ ．

设函数g（x）=xln x，

则g′（x）=1+ln x，

所以当x∈（0， ）时，g′（x）＜0；

当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＞0．

故g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，

从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（ ）=﹣ ．

设函数h（x）=xe﹣x﹣ ，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．

所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣ ．

因为gmin（x）=h（1）=hmax（x），

所以当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1）=e，进一步求得f（1）=2，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程可求；（2）函数f（x）=exlnx+ ﹣1的定义域为（0，+∞），由（1）得到函数在定义域内的最小值为1，则答案得证．