Question

【题目】已知椭圆： + =1（a＞b＞0），离心率为 ，焦点F1（0，﹣c），F2（0，c）过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△F2MN的周长为4． （I） 求椭圆方程；
（II） 与y轴不重合的直线l与y轴交于点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B且 =λ ．若 +λ =4 ，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，4a=4， = ， ∴a=1，c= ，
∴ = ，
∴椭圆方程方程为 ；
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由 得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0
△=（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）=4（k2﹣2m2+2）＞0（*）
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∵ ， ，
∴λ=3
∴﹣x1=3x2
∴x1+x2=﹣2x2 ， x1x2=﹣3x22 ，
∴3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3（﹣ ）2+4 =0，
整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2=0
m2= 时，上式不成立；m2≠ 时， ，
由（*）式得k2＞2m2﹣2
∵k≠0，
∴ ＞0，
∴﹣1＜m＜﹣ 或 ＜m＜1
即所求m的取值范围为（﹣1，﹣ ）∪（ ，1）．
【解析】（Ⅰ）先离心率为 ，△F2MN的周长为4，可求出a，b，c的值，从而得到答案．（Ⅱ）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，根据 ， ，可得λ=3，再利用韦达定理，即可解出m的范围．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．