Question

【题目】设函数，．

（1）求函数的单调性；

（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增；（2）.

【解析】

（1）对函数求导，分类讨论即可求出它的单调性；（2）先求出在上的最大值，则在恒成立，然后可转化为在上恒成立，求出在的最大值，即可求出的取值范围。

（1）因为，

当时，，函数在上单调递增；

当时，令，得，此时，函数在单调递减，在单调递增.

（2）由 得，由 得或，

因为，所以在单调递减，在单调递增，

又因为，所以，

由题意，可转化为在上恒成立，

即在上恒成立，

设，因为

令，则

显然时，，所以在在单调递减，

又因为，故当时，，时，，

即当时，时，，

所以，函数在区间单调递增，在区间上单调递减

所以，

故时，在上恒成立，

即对任意的，都有成立，实数的取值范围是.