题目内容

已知b，c∈R，若关于的不等式 $数学公式$ 的解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，（x₂＜x₃），则（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）的最小值是________．

4 $\text{[math]}$
分析：先画出函数f（x）= $\text{[math]}$ 的图象，数形结合可知x₂、x₃为方程 $\text{[math]}$ =0的两个根，x₁、x₄为方程 $\text{[math]}$ -4=0的两个根，进而将所求整理化简，利用求根公式将所求表示为关于 $\text{[math]}$ 的函数，最后利用换元法和判别式法求函数值域即可
解答：依题意：x₂、x₃为方程 $\text{[math]}$ =0的两个根

x₁、x₄为方程 $\text{[math]}$ -4=0的两个根
设y=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）=（x₄-x₃）+（x₂-x₁）+（x₄-x₁）=2（x₂-x₁）+（x₄-x₁）
=2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=2（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ =t，则t＞0
y=2 $\text{[math]}$ -t
∴（y+t）²=4（t²+16）
即3t²-2yt-y²+64=0
由△=4y²-12（64-y²）≥0，得y²≥48
∴y≥4 $\text{[math]}$ ，（y≤-4 $\text{[math]}$ 不合题意）
故答案为 4 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了函数、方程不等式间的内在联系及其相互应用，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，换元法、判别式法求函数值域的方法，难度较大