Question

已知b，c∈R，若关于的不等式0≤

x

2

+bx+c≤4的解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，（x₂＜x₃），则（x₂+x₄）-（x₁+x₃）的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先画出函数f（x）=x²+bx+c的图象，数形结合可知x₂、x₃为方程 x²+bx+c=0的两个根，x₁、x₄为方程 x²+bx+c=4的两个根，利用求根公式将所求表示为关于

b2-4c

的函数，最后利用换元法求取值范围即可．

解答：解：依题意：x₂、x₃为方程x²+bx+c=0的两个根，
x₁、x₄为方程x²+bx+c-4=0的两个根．
设y=（x₂+x₄）-（x₁+x₃）=（x₄-x₃）+（x₂-x₁）=2（x₂-x₁）
=2（

-b- b2-4c

2

-

-b- b2-4(c-4)

2

）
=2

b2-4c+16 - b2-4c

2

．
令

b2-4c

=t，则t＞0，
则y=

t2+16

-t，（y＞0）
∴（y+t）²=t²+16，
即2yt+y²=16，
t=

16-y2

2y

＞0，解得4＞y＞0（或y＜-4，不合题意，舍去），
故答案为：（0，4）

点评：本题主要考查了函数、方程不等式间的内在联系及其相互应用，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，换元法、求函数值域的方法，难度较大．