Question

已知函数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）f(x)=（2）P ()或(),Q（）或Q(),过P、Q的直线l的方程: x–4y–1=0即为所求.

解析:

  （1）∵f(x)是奇函数

∴f(–x)=–f(x)，即

∴–bx+c=–bx–c   ∴c=0

∴f(x)=

由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，

当x＞0时，f(x)＞0

∴f(x)的最大值在x＞0时取得.

∴x＞0时，

当且仅当

即时，f(x)有最大值

∴=1,∴a=b²         ①

又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2   ②

把①代入②得2b²–5b+2＜0解得＜b＜2

又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=

（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，

P(x₀,y₀)则Q（2–x₀,–y₀)，∴,消去y₀，得x₀²–2x₀–1=0

解之，得x₀=1±,

∴P点坐标为()或()

进而相应Q点坐标为Q（）或Q(). 

过P、Q的直线l的方程: x–4y–1=0即为所求.