Question

【题目】正三棱锥，为中点， ，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题中数据，结合正棱锥的结构特征，得到两两垂直，可将正三棱锥看作正方体的一角，设正方体的体对角线的中点为，得到点是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，过球心的截面圆面积最大；再求出，根据球的结构特征可得，当垂直于过的截面时，截面圆面积最小，结合题中数据，即可求出结果.

因为正三棱锥，，，

所以，即，同理，，

因此正三棱锥可看作正方体的一角，如图，

记正方体的体对角线的中点为，由正方体结构特征可得，点即是正方体的外接球球心，

所以点也是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，

则，

因为球的最大截面圆为过球心的圆，

所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大为；

又为中点，由正方体结构特征可得；

由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为，

所以.

因此，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为.

故选：D.