Question

【题目】已知,且.

（1）求的值；

（2）证明: 存在唯一的极小值点,且.

(参考数据: )

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）求出定义域，设，等价于.

由，，得求出的导数，求出的值，利用导数验证是的极大值点，从而验证，符合题意；

（2）由（1）知，求导得.

设，利用二次求导，可以知道在上有唯一零点；又，所以在上有唯一零点.可以判断出是的唯一极小值点.由，得，

故， 由（1）知.

令，，则，可以求出，结论得证.

解：（1）的定义域为.

设，则，等价于.

因为，，所以

而，，得.

若，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以是的极大值点，故.

综上，.

（2）由（1）知，.

设，则，，令，得.当时，，单增；当时，，单减；

又因为，，，所以在上有唯一零点；又，所以在上有唯一零点.

于是当时，，时，，时，.因为，所以是的唯一极小值点.

由，得，

故，

由（1）知.

令，，则，当时，，所以在上单调递减，.

所以，结论得证.