Question

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（1）求，；
（2）若，求证：；
（3）当时，求证：存在，使得．

Answer 1

（1），；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题是一道新定义题，主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和转化能力.第一问，由于是a的各位数字的平方和，所以，；第二问，通过题干中给出的的定义设出的值，利用，得到的值，然后用作差法比较和的大小；第三问，由已知条件，由于且，得，由归纳推理得，再用数学归纳法证明一下，因此存在（），有，再分类讨论p、q的情况，得出结论.
（1）；
．                       5分
（2）假设是一个位数（），
那么可以设，
其中且（），且．
由可得，．
　　　　　所以．
因为，所以．
而，
所以，即．                          9分
（3）由，即，可知．
同理，可知．
由数学归纳法知，对任意，有．
即对任意，有．
因此，存在（），有．
则，， ，，
可得对任意，，有．
设，即对任意，有．
若，取，，则有．
若，由，可得，
取，，则有．                 14分