Question

已知函数f(x)=sin2x+cosx+

3

4

(x∈[0，

2π

3

])，则函数f（x）的值域为（　　）

• A、[1，2]
• B、[-

  1

  4

  ，

  7

  4

  ]
• C、[-

  3

  4

  ，1]
• D、[-

  1

  4

  ，2]

Answer 1

分析：由f(x)=sin2x+cosx+

3

4

=-cos2x+cosx+

7

4

=-(cosx-

1

2

)2+2，由0≤x≤

2π

3

 可得-

1

2

≤cosx≤1，根据二次函数的性质可求函数的最值

解答：解：∵f(x)=sin2x+cosx+

3

4

=-cos2x+cosx+

7

4

=-(cosx-

1

2

)2+2
∵0≤x≤

2π

3

∴-

1

2

≤cosx≤1
根据二次函数的性质可得
当cosx=

1

2

时，函数有最大值2
当cosx=-1时，函数有最小值-

1

4

故选D

点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，解题中要注意由x的范围求解cosx的范围，还要灵活利用二次函数的性质．