Question

(本小题满分13分)

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。

（Ⅰ）求证：     

(Ⅱ)  求证：

（III）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：

（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。

的中位线 // ……2分

又

                            ……4分

（II） 正方形中, 

由已知可得：， …….6分

,                        …….7分

                                        …….8分

（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

                                                                    ………9分                                                   

设

                    ……10分

设平面的法向量为

则 

得                 ……11分

取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为                                          ……12分

要使二面角的大小为         

而   

解得：

当=时，二面角的大小为    13分