Question

（本小题满分12分）
已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面， ，为的中点，为中点．
(Ⅰ) 求证：直线平面；
（Ⅱ）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

法一（Ⅰ）取的中点为，连接，
则，，且，…………………………3分
则四边形为平行四边形，
则，即平面．………………………………6分
（Ⅱ）延长交延长线于点，连接，
则即为平面与平面的交线，
且，
则为平面和平面所成的锐二面角的平面角．……8分
在中，．…………………………12分
法二 取中点为，连接，
以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
，……………………2分
（Ⅰ）则，，
设平面的法向量为，
则，即………………4分
令，则，即，所以，
故直线平面．………………………………………………6分
（Ⅱ）设平面的法向量，
则．………………………………………………12分

略