Question

15．解关于x的不等式$\frac{ax-2}{x+1}$＞1．

Answer 1

分析 不等式即$\frac{（a-1）x-3}{x+1}$＞0，分类讨论求得x的范围．

解答 解：由关于x的不等式$\frac{ax-2}{x+1}$＞1，可得$\frac{（a-1）x-3}{x+1}$＞0，
当a=1时，不等式即$\frac{-3}{x+1}$＞0，∴x+1＜0，∴解集为{x|x＜-1}．
当a＞1时，不等式即$\frac{x-\frac{3}{a-1}}{x+1}$＞0，求得x＜-1，或 x＞$\frac{3}{a-1}$．
当a＜0时，若-2＜a＜0，则 $\frac{3}{a-1}$＜-1，不等式$\frac{x-\frac{3}{a-1}}{x+1}$＞0的解集为{x|x＜$\frac{3}{a-1}$，或x＞-1}；
若a=-2，则 $\frac{3}{a-1}$=-1，不等式$\frac{x-\frac{3}{a-1}}{x+1}$=1＞0的解集为R；
若a＜-2，则 $\frac{3}{a-1}$＞-1，不等式$\frac{x-\frac{3}{a-1}}{x+1}$＞0的解集为{x|x＞$\frac{3}{a-1}$，或x＜-1}．
综上可得：当a=1时，不等式的解集为{x|x＜-1}；
当a＞1或a＜-2时，不等式的解集为{x|x＞$\frac{3}{a-1}$，或x＜-1}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{3}{a-1}$，或x＞-1}；
若a=-2，不等式的解集为R．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．