Question

已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，-b）的直线到原点的距离是．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由离心率为可得①，原点到直线AB的距离是，得=②，由①②及c²=a²+b²可求得b，a；
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，得x的二次方程，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点是E（x，y），由C，D都在以B为圆心的圆上，得k_BE==-，由韦达定理及中点坐标公式可得k的方程，解出即可；
解答：解：∵（1）①，原点到直线AB：的距离==②，
联立①②及c²=a²+b²可求得b=1，a=，
故所求双曲线方程为 ．
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，整理得 （1-3k²）x²-30kx-78=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），C、D的中点是E（x，y），
则，=，y=kx+5=，k_BE==-，
∴x+ky+k=0，即，解得k=，
故所求k=±．
点评：本题考查直线方程、双曲线方程及其位置关系，考查圆的性质，考查学生解决问题的能力．