Question

如图，在半径为

3

、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点（N，M）在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
（1）按下列要求写出函数的关系式：
 ①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；
 ②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．

Answer 1

分析：（ 1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；
     ②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；
（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．

解答：解：（1）①因为ON=

3-x2

，OM=

3

3

x，所以MN=

3-x2

-

3

3

x，（2分）
所以y=x（

3-x2

-

3

3

x）   x∈（0，

3

2

）．（4分）
②因为PN=

3

sinθ，ON=

3

cosθ，OM=

3

3

×

3

sinθ =sinθ，
所以MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ（6分）
所以y=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)，
即y=3sinθcosθ-

3

sin²θ，θ∈（0，

π

3

）（8分）
（2）选择y=3sinθcosθ-

3

sin²θ=

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

2

，（12分）
∵θ∈（0，

π

3

）∴2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)（13分）
所以ymax=

3

2

．（14分）

点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运应，考查计算能力，课本题目的延伸．如果选择①需要应用导数求解，麻烦，不是命题者的本意．