题目内容

（2011•成都二模）如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径OP⊥平面ABCD．点E、F分别为大圆上的劣弧
BP
、
AC
的中点，给出下列结论：
①向量
OE
在向量
OB
方向上的投影恰为
1
2
；
②E、F两点的球面距离为
2π
3
；
③球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；
④若点M为大圆上的劣弧
AD
的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线只有三条，其中正确的是（　　）
分析：先建立如图所示的空间直角坐标系，写出坐标E（0，
2
2
，
2
2
），F（
2
2
，-
2
2
，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）再一一验证即可．
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，
2
2
，
2
2
），F（
2
2
，-
2
2
，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）
①向量
OE
在向量
OB
方向上的投影为
2
2
，错；
②cos∠EOF=cos∠EOBcos∠COB=cos45°cos（90°+45°）=-
2
2
×
2
2
=-
1
2

∴∠EOF=
2π
3
，对；
③过点EF的中点及球心O的大圆上任意点到点E、F的距离都相等，错；
④由于等角的值不是一定值，因此将直线EF、PC都平移到点M，可知过点M且与直线EF、PC成等角的直线有无数多条，错；
故选C．
点评：本题主要考查了球的性质、球面距离及相关计算，解答的关键是建立适当的空间坐标系写出点的坐标后利用空间坐标进行计算，属于难题．
练习册系列答案
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（2011•成都二模）若n∈N*，则
lim
n→∞
2×3n-2n-1
3n+2+2n-1
的值为（　　）
（2011•成都二模）将函数y=Asin2x的图象按向量
a
=(-
π
6
，B)平移，得到函数y=f（x）的图象．若函数f（x）在点h(
π
2
，f(
π
2
))处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
（2011•成都二模）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为
2
3
，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为
1
2
，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．
（I）求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；
（Ⅱ）记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
（2011•成都二模）记（bn）i=i+
1
2
+log2
i
n+1-i
，其中i，n∈N*，i≤n，如（bn）3=3+
1
2
+log2
3
n+1-3
，令Sn=（bn）1+（bn）2+（bn）3+…+（bn）n．
（I）求（bn）1+（bn）n的值；   
（Ⅱ）求Sn的表达式；
（Ⅲ）已知数列{an}满足Sn•an=1，设数列{an}的前n项和为Tn，若对一切n∈N*，不等式
11λ-3n2
(n+1)(n+2)
≤11(Tn-
3
2
)恒成立，求实数λ的最大值．

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