Question

20．钝角三角形ABC的面积为3$\sqrt{3}$，BC=3，AC=4，则AB=（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{37}$
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 根据题意和三角形的面积公式求出sinC的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．

解答 解：由题意得，钝角三角形ABC的面积为3$\sqrt{3}$，BC=3，AC=4，
则3$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×3×4$×sinC，解得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
当C=$\frac{π}{3}$时，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosB
=9+16-2×$3×4×\frac{1}{2}$=13，AB=$\sqrt{13}$，
则B是最大角，cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{13+9-16}{2\sqrt{13}×3}$＞0，则B是锐角，
这与三角形是钝角三角形矛盾，
所以C=$\frac{2π}{3}$，则AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosB
=9+16+2×$3×4×\frac{1}{2}$=37，则AB=$\sqrt{37}$，
故选：B．

点评 本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．