Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2x﹣2+ = （x＞0），

令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，

①当△=4﹣8a≤0，即a≥ 时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当△=4﹣8a＞0即a＜ 时，由2x2﹣2x+a=0，得x= ，

由f'（x）＞0，得0＜x＜ 或x＞ ，

由f'（x）＜0，得 ＜x＜ ，

a≤0时， ≤0，f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，

0＜a＜ 时，得 ＞0，

f（x）在（0， ）递减，在（ ， ）递增，

在（ ，+∞）递减；

综上，当a≥ 时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

当0＜a＜ 时，f（x）的单调递增区间是（0， ），（ ，+∞），

单调递减区间是（ ， ）；

a≤0时，f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增

（2）解：函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，

由（1）可得0＜a＜ ，

由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，x1= ，x2= ，

由0＜a＜ ，可得0＜x1＜ ， ＜x2＜1，

=1﹣x1+ +2x1lnx1，

令h（x）=1﹣x+ +2xlnx，（0＜x＜ ），h′（x）=﹣1﹣ +2lnx，

由0＜x＜ ，则﹣1＜x﹣1＜﹣ ， ＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣ ＜﹣1，

又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）递减，

即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即 ＞﹣ ﹣ln2，

即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣ ﹣ln2]

【解析】（1）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，对判别式讨论，即当a≥ 时，当0＜a≤ 时，a≤0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得0＜a＜ ，不等式f（x1）≥mx2恒成立即为 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．