Question

设函数

                        （1）若x=1是的极大值点，求a的取值范围。

    （2）当a=0，b=-1时，函数有唯一零点，求正数的值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的定义域为，

                      ，由=0，得.

                      ∴.

    ①若a≥0，由=0，得x=1.

                      当时，，此时单调递增；

                      当时，，此时单调递减.所以x=1是的极大值点.

②若a＜0，由=0，得x=1，或x=.

因为x=1是的极大值点，所以＞1，解得－1＜a＜0.[来

综合①②：a的取值范围是a＞－1.

                      （Ⅱ）因为函数有唯一零点，即有唯一实数解，

                      设，则．令，．

                      因为，所以△=>0，方程有两异号根设为x₁<0，x₂>0.因为x>0，所以x₁应舍去.

                      当时，，在（0，）上单调递减;

                      当时，，在（，+∞）单调递增.

                      当时，=0，取最小值．

    因为有唯一解，所以，

                      则   即

                      因为，所以（*）

                      设函数，因为当时，

                      是增函数，所以至多有一解．

                      因为，所以方程（*）的解为，

    代入方程组解得

【解析】略