Question

设函数.

（1）若x＝时，取得极值，求的值；

（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；

（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）.    

（3）转化成.所以.通过“放缩”，“裂项求和”。

【解析】

试题分析：，

（1）因为时，取得极值，所以，

 即    故．                       3分

（2）的定义域为，

要使在定义域内为增函数,

只需在内有恒成立,

即在恒成立，         5分

 又         7分

，

因此，若在其定义域内为增函数，则的取值范围是.     9分

（3）证明：，

当=－1时，，其定义域是，

令，得.

则在处取得极大值，也是最大值.

而.所以在上恒成立.因此.

因为，所以.

则.

所以

=<

==.

所以结论成立.                                 13分

考点：利用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题，不等式的证明。。

点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。本题不等式证明过程中，利用“放缩法”，转化成易于求和的数列，体现解题的灵活性。