Question

【题目】已知椭圆的右焦点的坐标为，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点、为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足，为的中点，线段的垂直平分线分别交轴、轴于、两点．

（ⅰ）求证：为的中点；

（ⅱ）若（为三角形的面积），求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由已知得，再由的值，求，即可求出椭圆的方程；

（Ⅱ）（ⅰ）设直线方程为，与椭圆方程联立，设，，得出的坐标关系，求出点坐标，得到垂直平分线方程，求出点坐标，即可证明结论；

（ⅱ）由结合（ⅰ）的结论，求出点的坐标，再由，得到关系，代入点坐标，求出的值即可．

（Ⅰ）椭圆的右焦点的坐标为，

，又离心率，

椭圆的方程为；

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线方程为，

联立，消去，得，

，

设，，则，

设中点，则，

，即点坐标为），

线段的垂直平分线方程为，

令，得，令，得，

，为中点；

（ⅱ）由（ⅰ）得为中点，

，

，

整理得，即，

又，

整理得，解得或（舍去），

，此时，

直线方程为.