Question

【题目】如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成.设其中的第一个直角是等腰三角形，且，则，，现将沿翻折成，则当四面体体积最大时，它的表面有________个直角三角形；当时，四面体外接球的体积为________.

Answer 1

【答案】4

【解析】

当四面体体积最大时，平面平面，由此推出，根据勾股定理可以推出，从而可得有4个直角三角形，根据，可得点在平面内的射影是的中点，且四面体的外接球的球心在直线上，根据勾股定理可求得外接球的半径，代入体积公式可求得结果.

当四面体体积最大时，平面平面，因为，所以根据平面与平面垂直的性质定理可得平面，所以，所以△为直角三角形，所以，又，，

所以，所以，所以三角形为直角三角形，

所以它的表面有4个直角三角形，

因为，所以点在平面内的射影是直角三角形的外心，

也就是的中点，且四面体的外接球的球心在直线上，如图：

容易求得，设，

则在直角三角形中，由勾股定理可得，

所以，解得，

所以四面体外接球的体积为.

故答案为：（1）4 （2）