Question

已知函数
（1）当k=1时，求函数f（x）的极值
（2）当k＞0时，若函数f（x）在区间[-3，1]上单调递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的导数，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．
（2）因为当k＞0时，若函数f（x）在区间[-3，1]上单调递减，所以k＞0时，在区间[-3，1]上，f′（x）＜0恒成立，而f′（x）是关于x的二次函数，结合函数的对称轴与定义域，即可求出参数k的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=kx²+2x-3，当k=1时，，f′（x）=x²+2x-3，
令f′（x）=0，即x²+2x-3=0，解得，x=-3或x=1
且当x＞1时，f′（x）＞0．当-3＜x＜1时，f′（x）＜0．当x＜-3时，f′（x）＞0．
∴当x=-3时，函数f（x）有极大值为f（-3）=10，当x=1时，函数f（x）有极小值为f（1）=
（2）∵当k＞0时，若函数f（x）在区间[-3，1]上单调递减，∴k＞0时，在区间[-3，1]上，f′（x）＜0恒成立．
即k＞0时，在区间[-3，1]上，kx²+2x-3＜0恒成立，
函数f′（x）=kx²+2x-3是关于x的二次函数，且对称轴x=-，∵k＞0，∴-＜0
当-≤-3，即0＜k≤时，只需f′（-3）＜0，即9k-9＜0，解得k＜1∴0＜k≤时满足条件
当-＞-3，即k＞时，只需f′（-）＜0，即0，解得，-＜k＜0，∵k＞0，∴不成立
∴实数k的取值范围0＜k≤．
点评：本题主要考查函数的导数与极值，单调区间的关系，以及恒成立问题求参数的取值范围，属于导数的应用．