题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）当k=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，求函数f（x）的单调区间．

解：（Ⅰ）∵k=1，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（2分）
∵f（1）=1-ln2，…（3分）
∴切线方程为 $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ …（5分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（7分）
令 f'（x）=0，解得x=0，或 $\text{[math]}$ …（8分）

令 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，解得k＜1…（10分）
（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
此时f（x）在区间（-1，0）上增，在区间 $\text{[math]}$ 上减，在区间 $\text{[math]}$ 上增，…（11分）
（2）当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）≥0，此时f（x）在区间（-1，+∞）上增，…（12分）
（3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
此时f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上增，
在区间 $\text{[math]}$ 上减，在区间（0，+∞）上增，…（13分）
（4）当k＞1时， $\text{[math]}$ ，
此时f（x）在区间（-1，0）上减，在区间（0，+∞）上增，…（14分）
分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论 $\text{[math]}$ ，k= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜k＜1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．