Question

设等差数列{a_n}的首项a₁为a，公差d＝2，前n项和为S_n．

(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ) 证明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不构成等比数列．

Answer 1

本题主要考查等差数列、等比数列概念、求和公式等基础知识，同时考查推理论证能力及分析问题解决问题的能力。满分14分。

(Ⅰ)解：因为S_n＝na＋n (n－1)，

S₁＝a，S₂＝2a＋2，S₄＝4a＋12．由于S₁，S₂，S₄成等比数列，因此

＝S₁S₄，即得a＝1．a_n＝2n－1．                …………6分

(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2构成等比数列，即．因此

a²＋2ma＋2m(m＋1)＝0，     

要使数列{a_n}的首项a存在，上式中的Δ≥0．然而

Δ＝(2m)²－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．

所以，对任意正整数n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不构成等比数列．   …………14分