Question

（2012•湖北模拟）已知等比数列{a_n}满足an+1+an=9•2n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n-2对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比数列{a_n}满足an+1+an=9•2n-1，确定数列的公比与首项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n-2，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵an+1+an=9•2n-1，n∈N^*，∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，…（2分）
∴q=

a3+a2

a2+a1

=

18

9

=2，…（4分）  
又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．
∴an=3•2n-1，n∈N*．   …（7分）
（Ⅱ）Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

3(1-2n)

1-2

=3(2n-1)，…（9分）
∴3（2ⁿ-1）＞k•3•2^n-1-2，∴k＜2-

1

3•2n-1

．  …（11分）
令f(n)=2-

1

3•2n-1

，f（n）随n的增大而增大，
∴f(n)min=f(1)=2-

1

3

=

5

3

．∴k＜

5

3

．
∴实数k的取值范围为(-∞，

5

3

)． …（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．