Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

3

2

(an-1)(n∈N*)，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求T_n的最小值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件求出数列{a_n}首项，判断是等比数列，即可求出通项公式，利用P（b_n，b_n+1）在直线x-y+1=0上，图象数列是等差数列，即可求解{b_n}的通项公式b_n；
（2）化简c_n=a_n•b_n，利用错位相减法直接数列{c_n}的前n项和T_n，通过单调性即可求T_n的最小值．

解答： 解：（1）∵S_n=

3

2

(an-1)(n∈N*)，当n=1 时S₁=a₁=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3；
当n≥2时an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)，得

an

an-1

=3，
又a₂=3a₁=9，所以an=3n；…（4分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+1=0上，∴b_n-b_n+1+1=0，
即b_n+1-b_n=1，所以数列{b_n}是等差数列，又b₁=1可得b_n=n．…（6分）
（ 2）∵c n=n×3n，
∴Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，
3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1，
两式相减得-2Tn=3+32+33+…+3n-n×3n+1，
即-2Tn=

3(1-3n)

1-3

-n×3n+1，
因此：Tn=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

…．（11分）
∵T_n单调递增∴当n=1时{T_n}最小值为3…（13分）

点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，数列求和的方法错位相减法的应用，基本知识的考查．