Question

9．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|
（1）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-3时，利用绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）题目等价于f（x）≤|x-4|在[0，2]上恒成立，即|x+a|≤2在[0，2]上恒成立，即-2-x≤a≤2-x在[0，2]上恒成立，由此可得a的范围．

解答 解：（1）当a=-3时，求不等式f（x）≥3，即|x-3|+|x-2|≥3，
|x+a|+|x-2|表示数轴上的x对应点到2、3对应点的距离之和，
而1和4对应点到2、3对应点的距离之和正好等于3，故|x-3|+|x-2|≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}．
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，等价于f（x）≤|x-4|在[0，2]上恒成立，
即|x+a|≤4-x-|x-2|在[0，2]上恒成立，即|x+a|+2-x≤4-x在[0，2]上恒成立．
即|x+a|≤2在[0，2]上恒成立，即-2≤x+a≤2在[0，2]上恒成立，
即-2-x≤a≤2-x在[0，2]上恒成立，∴-2≤a≤0．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．