Question

1．已知函数f（x）=$\frac{2x-a}{x-2a}$．a∈R
（1）若1∈{x|f（x）＞1}，求a的取值范围．
（2）解不等式f（x）＞1，用含a的代数式表示不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）若1∈{x|f（x）＞1}，则由f（1）＞1，即可求a的取值范围．
（2）根据分式不等式的性质，将不等式转化为一元二次不等式，讨论参数a的取值范围即可得到结论．

解答 解：（1）若1∈{x|f（x）＞1}，则f（x）＞1，
即$\frac{2-a}{1-2a}$＞1，
即$\frac{a-2}{2a-1}$＞1，
则$\frac{a-2}{2a-1}$-1=$\frac{-a-1}{2a-1}$＞0，
即$\frac{a+1}{2a-1}$＜0，
解得-1＜a＜$\frac{1}{2}$，
即a的取值范围是-1＜a＜$\frac{1}{2}$．
（2）由f（x）＞1，得$\frac{2x-a}{x-2a}$＞1，即$\frac{2x-a}{x-2a}$-1=$\frac{x+a}{x-2a}$＞0，
即（x+a）（x-2a）＞0，
若a=0，则不等式等价为x²＞0，则x≠0，
若a＞0，则不等式的解为x＞2a或x＜-a，
若a＜0，则不等式的解为x＞-a或x＜2a，
综上若a=0，则不等式的解集为{x|x≠0}，
若a＞0，则不等式的解集为{x|x＞2a或x＜-a}，
若a＜0，则不等式的解集为{x|x＞-a或x＜2a}．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据分式不等式的解法转化为一元二次不等式是解决本题的关键．