Question

【题目】设函数（为常数），为自然对数的底数.

（1）当时，求实数的取值范围；

（2）当时，求使得成立的最小正整数.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 最小正整数的值为1.

【解析】试题分析：

（1）解不等式，考虑到恒成立，可对分类讨论： 和；（2）题意就是恒成立，求的最小值正整数，只要求得的最小值即可，由于要求得的零点，因此还要对此函数进行分析，设，利用导数确定它的单调性，从而确定零点的范围， ，再求得最小值的范围，可得结论．

试题解析：

（1）由可知，

当时， ，由，解得；

当时， ，由，解得或；

当时， ，由，解得或；

（2）当时，要使恒成立，即恒成立，

令，则，

当时， ，函数在上单调递减；

当时， ，函数的上单调递增．

又因为时， ，且，

所以，存在唯一的，使得，

当时， ，函数在上单调递减；

当时， ，函数在上单调递增．

所以，当时， 取到最小值．

，

因为，所以，

从而使得恒成立的最小正整数的值为1．