Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-sin²x；
（1）求 f（ 

π

3

 ）的值；
（2）当 x∈[0，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接把x=

π

3

代入到函数解析式中即可求解
（2）利用辅助角公式对已知函数化简可得f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，结合正弦函数的性质及已知角的范围可求函数的最大值

解答：解：（1）f（

π

3

）=

3

2

sin

2π

3

-sin²

π

3

=

3

4

-

3

4

=0．（4分）
（2）因为f（x）=

3

2

sin2x-sin²x=f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）-

1

2

．
所以当x∈[0，

π

4

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
所以：

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
所以f（x）的最大值为

1

2

．（12分）

点评：本题主要考查三角函数的辅助角公式的应用及正弦函数的值域（最值）的求解属基础题．