题目内容

设 $数学公式$ ，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，有 $数学公式$ =f（x）sinα+（1-sinα）f（y），则α=， $数学公式$ =．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：（1）分别给x，y赋值0，1得到一个f（ $\text{[math]}$ ）表达式；在给x，y分别赋值1，0得到f（ $\text{[math]}$ ）的另一个表达式，列出方程求出f（ $\text{[math]}$ ）．
（2）由（1）中得到的sin $\text{[math]}$ 求出角α．
解答：（1）f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）
=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）
=1-sinα
又f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）
=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）
=sinα
所以1-sinα=sinα 解得 sinα= $\text{[math]}$
故f（ $\text{[math]}$ ）=sinα= $\text{[math]}$
（2）由（1）知sinα= $\text{[math]}$
又a∈（0， $\text{[math]}$ ）
所以a= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$
点评：本题考查通过赋值的方法解决抽象函数的函数值问题．

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2、设连续函数f（x）＞0，则当a＜b时，定积分∫_a^bf（x）dx的符号（　　）

A、一定是正的

B、一定是负的

C、当0＜a＜b时是正的，当a＜b＜0时是负的

D、以上结论都不对

=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4

，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=

，求函数f（x）的最大值．

设函数f(x)=ax+

，曲线y=f（x）在点M(

))处的切线方程为2x-3y+2

=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

已知函数f(x)=

x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x₁，x₂判断下列三个代数式：①x₁+x₂+a，②

+a3
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

设函数f（x）=

的图象上两点P₁（x₁，y₁） P₂（x₂，y₂），若

），且点P的横坐标为

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若S_n=

，n∈N*，求S_n；
（3）记T_n为数列{

}的前n项和，若T_n＜a（

）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围