Question

设函数f（x）=的图象上两点P₁（x₁，y₁） P₂（x₂，y₂），若=（+），且点P的横坐标为（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若S_n=，n∈N*，求S_n；
（3）记T_n为数列{}的前n项和，若T_n＜a（）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围

Answer 1

【答案】分析：（1）中P点的纵坐标为定值需利用向量的知识，得到x₁+x₂=1，再代入函数解析式中求解；（2）中求s_n需利用（1）的结论，运用数列中倒序相加求和的方法解之；（3）在（2）的条件下求出数列利用裂项相加法解出数列通项，再利用裂项相加法求出T_n，再将不等式变形，利用均值不等式求出的最大值即可．
解答：（1）证明：∵，∴P是P₁P₂的中点，∴x₁+x₂=1（2分）
∴=
==
∴（6分）
（2）解：由（1）知x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，f（1）=2-，，
相加得
=2f（1）+1+1+…+1（n-1个1）=∴（10分）
（3）解：=
=（12分）
⇒∵≥8，当且仅当n=4时，取“=”∴，因此，（14分）
点评：本题综合考查了指数函数和向量，基本不等式，数列的通项公式及其数列的求和方法和运算的基本技能等．指数函数与数列，不等式等其它知识的交汇命题，考查学生对知识的灵活应用及其综合分析推理的能力．