Question

已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足sinB+sinA=

5

4

sinC，求点C的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

Answer 1

分析：由sinB+sinA=

5

4

sinC，利用正弦定理可知b+a=

5

4

c=10，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，根据椭圆的定义可知：其轨迹是椭圆（去掉左右顶点）．

解答：解：由sinB+sinA=

5

4

sinC，利用正弦定理可知b+a=

5

4

c=10，
即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，满足椭圆的定义．
设椭圆方程为

x2

a′2

+

y2

b′2

=1，则a′=5，c′=4⇒b′=3，
则轨迹方程为

x2

25

+

y2

9

=1（x≠±5）．
图形为椭圆（不含左，右顶点）．

点评：本题考查了椭圆的定义和正弦定理，属于中档题．